Τετάρτη, 19 Φεβρουαρίου 2014

Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

Έστω ότι κάποιος σας προτείνει το εξής στοίχημα:
Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικές φορές. Αν την πρώτη φορά έρθει «κορώνα» θα πληρωθείτε 1 ευρώ και το παιχνίδι συνεχίζεται όσο το νόμισμα θα έρχεται «κορώνα».
Ωστόσο, την δεύτερη φορά θα λάβετε 2 ευρώ, την τρίτη 4 ευρώ, την τέταρτη 8 ευρώ, κοκ.
Την πρώτη φορά που θα έρθουν «γράμματα» το παιχνίδι λήγει και εσείς λαμβάνετε το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.
Η ερώτηση που σας τίθεται, και αποτελεί το αντικείμενο του προβληματισμού σας, είναι η εξής:
Ποιo είναι το ελάχιστο ποσό που είστε έτοιμοι να πληρώσετε ώστε να συμμετάσχετε στο στοίχημα;
Λογικά σε ένα τυχερό παιχνίδι σας συμφέρει να συμμετέχετε εάν το αναμενόμενο κέρδος είναι μεγαλύτερο από το κόστος συμμετοχής.
Για παράδειγμα σε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζεις 10 ευρώ με πιθανότητα 1/2, σε συμφέρει να συμμετέχεις πληρώνοντας οποιοδήποτε ποσό μικρότερο από 5 ευρώ, επειδή τότε το αναμενόμενο κέρδος, πού είναι το ποσό που κερδίζεις επί την πιθανότητα να το κερδίσεις (10€ * 1/2), είναι μεγαλύτερο.
Στο στοίχημα που σας προτάθηκε, και με βάση τις πιθανότητες, περιμένετε ότι θα κερδίσετε:

(1€ * 1/2) + (2€ * 1/4) + (4€ * 1/8) + (8€ * 1/16) +...

το οποίο είναι:

0,5€ + 0,5€ + 0,5€ + 0,5€ +...

Επειδή η πρώτη «κορώνα» μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει ότι το συνολικό αναμενόμενο κέρδος είναι θεωρητικά άπειρο και πως σας συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Παρόλα αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου, για να παίξει το συγκεκριμένο παιχνίδι, και αυτό είναι το παράδοξο.
Το τυχερό παιχνίδι επινοήθηκε από τον Nicholas Bernulli και αργότερα ο Daniel Bernulli το δημοσίευσε στο «Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg» και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St. Petersburg paradox).
Μάλιστα ο Daniel Bernoulli έκανε και μια πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση: «Ο προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδετε... Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.»
Η «αξία» του χρήματος για τον κάθε υποψήφιο παίκτη καθώς και ο κορεσμός της ευτυχίας που επέρχεται όταν αυξάνονται τα ευρώ, είναι παράμετροι που δεν λαμβάνει υπόψη του ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους και αυτός είναι ένας σοβαρός λόγος που οι προσφορές για την συμμετοχή στο παιχνίδι δεν αντιστοιχούν στα θεωρητικά αναμενόμενα κέρδη.
Το 1783 ο Daniel Bernoulli έγραψε το βιβλίο «Specimen theoriae novae de mensura sortis» (Στοιχεία μιας Νέας Θεωρίας για την Εκτίμηση Κινδύνου), στο οποίο το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης γινόταν η βάση της οικονομικής θεωρίας της αποστροφής κινδύνου, του ασφάλιστρου κινδύνου και της οικονομικής ωφέλειας.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου