Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2014

Ταυτότητα του Όιλερ

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση
e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!
όπου
e\,\! είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
i\,\! είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα , και
\pi\,\! ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.
Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία
e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!
για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν
x = \pi,\,\!
τότε
e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!
Αφού
 \cos\pi=-1  \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \ \sin\pi=0
Συνεπώς,
e^{i \pi} = -1,\,\!
που δίνει την ταυτότητα
e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου