tag:blogger.com,1999:blog-55762280094799215032024-03-08T05:52:17.542-08:00Σπουδαστήριο ΜαθηματικώνΚων/νος Παπασταματίου . Κ.Καρτάλη 28 Βόλος
email: kpapmath@gmail.comAnonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.comBlogger22125tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-64968051393563459772017-04-08T02:51:00.001-07:002017-04-08T02:51:30.626-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ΄Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού<div>
<a href="https://1drv.ms/b/s!AowTt2kL4zZ-gd1efs8NBIk8FthEeQ">Προσομοίωση 2017</a></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-79662735977963680212016-04-07T00:03:00.002-07:002016-04-07T00:03:58.052-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Δύο Συλλογές με Επαναληπτικά Θέματα Σύμφωνα με την νέα ύλη 2015 - 2016<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8QkV5YkFJWkx2VE0/view?usp=sharing">Επαναληπτικά Θέματα Μέρος 1ο</a><br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8eUpMTndVWjRpeUU/view?usp=sharing">Επαναληπτικά Θέματα Μέρος 2ο</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-48094199675970968832016-04-06T23:55:00.000-07:002016-04-06T23:55:06.042-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα νέο Φυλλάδιο Επανάληψης με την νέα ύλη 2015 - 2016. Περιέχει:<br />
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>Θεωρία (με την μορφή Ερωτήσεων) </li>
<li>Συνοπτικές - Συνδυαστικές Μεθοδολογίες </li>
<li>Λεξιλόγιο (πως βασικές προτάσεις που συναντάμε σε ασκήσεις μεταφράζονται σε μαθηματικές σχέσεις)</li>
<li>Λυμένα Θέματα Πανελληνίων Περασμένων Ετών</li>
<li>Συλλογή Λυμένων Θεμάτων από διάφορες Πηγές</li>
</ul>
<div>
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8SURQbTBKRzVwNFk/view?usp=sharing">Επανάληψη 2015 - 2016 </a></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-49374841969121447572016-04-06T23:51:00.001-07:002016-04-07T00:00:34.946-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα νέο Φυλλάδιο Επανάληψης με την νέα ύλη 2015 - 2016. Περιέχει:<br />
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>Θεωρία </li>
<li>Συνοπτικές - Συνδιαστικές Μεθοδολογίες </li>
<li>Λεξιλόγιο (πως βασικές προτάσεις που συναντάμε σε ασκήσεις με</li>
</ul>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-47193838360051201422015-11-13T02:08:00.001-08:002015-11-13T02:08:46.598-08:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Νέο Φυλλάδιο με την Θεωρία της Γ' Λυκείου, στα Μαθηματικά προσανατολισμού θετικών και οικονομικών σπουδών, σύμφωνα με την νέα ύλη.<br />
Λήψη από τον παρακάτω σύνδεσμο<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8cm5vd3pOOEJzVjA/view?usp=sharing">Θεωρία Για Εξετάσεις 2015</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-12063014117263315472015-11-11T07:06:00.001-08:002015-11-11T07:06:39.260-08:00What is Early Math and Why Should We Care?<a href="http://blogs.ams.org/matheducation/2015/11/10/what-is-early-math-and-why-should-we-care/#sthash.SNYwDyFP.WftddcjS.cmfs">What is Early Math and Why Should We Care?</a>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-2195068160949800752015-09-11T06:06:00.001-07:002015-09-11T08:13:38.490-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.mathsteki.gr/ektos-mathimatos/pos-diavazo-mathimatika-1.html" target="_blank"><b><span style="font-size: large;">Πώς διαβάζω Μαθηματικά ; </span></b></a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-30763184215395782632014-09-25T11:28:00.001-07:002014-09-25T11:28:51.272-07:00«Λεξιλόγιο Γεωμετρίας Α’ Λυκείου» του Κωνσταντίνου Παπασταματίου. Δωρεάν βοήθημα | schooltime.gr<a href="http://www.schooltime.gr/2014/09/25/lexilogio-geometrias-alikeiou-papastamatiou-voithima-schooltimegr/#.VCReziZE8rE.blogger">«Λεξιλόγιο Γεωμετρίας Α’ Λυκείου» του Κωνσταντίνου Παπασταματίου. Δωρεάν βοήθημα | schooltime.gr</a>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-53726876777534809542014-09-18T01:52:00.000-07:002014-09-18T01:53:12.707-07:00<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα βίντεο παρουσίασης για την δημιουργία του Διαφορικού Λογισμού<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/OTMkCLtflHY?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-70254633015174872012014-03-28T05:51:00.002-07:002014-03-28T05:55:56.470-07:0027-03-14 Ανακοίνωση αριθμού εισακτέων στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση για το ακαδημαϊκό έτος 2014-2015<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://ipaideia.gr/27-03-14-anakoinosi-arithmou-eisakteon-stin-tritovathmia-ekpaideusi-gia-to-akadimaiko-etos-2014-2015.178a15db07085e6f918b93f028130eef.htm" target="_blank">Ανακοίνωση αριθμού εισακτέων στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση για το ακαδημαϊκό έτος 2014-2015</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-76734283264343477682014-03-28T02:51:00.002-07:002014-03-28T02:51:31.846-07:00Ταυτότητα του Όιλερ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Η <b>ταυτότητα του Όιλερ</b> (<i>Euler's identity</i>) στη <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Μαθηματική ανάλυση">μαθηματική ανάλυση</a>, είναι η εξίσωση</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/2/c/c2cc760385a6ef275c61dc193e6ceaea.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
όπου</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/0/460a1940ceddf45878d2e095af31128a.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> είναι ο <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_e_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Αριθμός e (μαθηματικά)">αριθμός του Όιλερ</a>, η βάση των φυσικών <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Λογάριθμος">λογαρίθμων</a>,</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="i\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/7/9/a796b40d92e81ae190a1e4f4e2a2c3ed.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> είναι ο <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Φανταστικός αριθμός">φανταστικός αριθμός</a>, ένας <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B9%CE%B3%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Μιγαδικός αριθμός">μιγαδικός αριθμός</a> του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα , και</dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="\pi\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/0/6/e06a022b86322d6ee502b6760a0ed4ec.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> ο <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CF%8C%CE%B3%CE%BF%CF%82_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Λόγος (μαθηματικά)">λόγος</a> του μήκους της περιφέρειας ενός <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%8D%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Κύκλος">κύκλου</a> προς τη <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Διάμετρος">διάμετρό</a> του.</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Πήρε το όνομά της από τον <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%AD%CE%BF%CE%BD%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84_%CE%8C%CE%B9%CE%BB%CE%B5%CF%81" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Λέοναρντ Όιλερ">Λέοναρντ Όιλερ</a> και μερικές φορές είναι γνωστή και ως <b>εξίσωση του Όιλερ</b>.</div>
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19.200000762939453px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em;">
<span class="mw-headline" id=".CE.91.CF.80.CF.8C.CE.B4.CE.B5.CE.B9.CE.BE.CE.B7">Απόδειξη</span></h2>
<div class="thumb tright" style="background-color: white; clear: right; float: right; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin: 0.5em 0px 1.3em 1.4em; width: auto;">
<div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border: 1px solid rgb(204, 204, 204); font-size: 12px; overflow: hidden; padding: 3px !important; text-align: center; width: 252px;">
<a class="image" href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euler%27s_formula.svg" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="247" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/250px-Euler%27s_formula.svg.png" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/375px-Euler%27s_formula.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/500px-Euler%27s_formula.svg.png 2x" style="border: 1px solid rgb(204, 204, 204); vertical-align: middle;" width="250" /></a><div class="thumbcaption" style="border: none; font-size: 11px; line-height: 1.4em; padding: 3px !important; text-align: left;">
<div class="magnify" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; float: right; margin-left: 3px;">
<a class="internal" href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Euler%27s_formula.svg" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; color: #0b0080; display: block; text-decoration: none;" title="Μεγέθυνση"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.23wmf18/skins/common/images/magnify-clip.png" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; display: block; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div>
Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.</div>
</div>
</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της <a class="mw-redirect" href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%8C%CE%B9%CE%BB%CE%B5%CF%81" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Εξίσωση του Όιλερ">εξίσωσης του Όιλερ</a>, σύμφωνα με την οποία</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/6/7/c67d19a30b34c87a92e27e1458f21630.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
για κάθε <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Πραγματικός αριθμός">πραγματικό αριθμό</a> <i>x</i>. (οι μονάδες δίνονται σε <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BA%CF%84%CE%AF%CE%BD%CE%B9%CE%BF_(%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CE%AC%CE%B4%CE%B1_%CE%BC%CE%AD%CF%84%CF%81%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82)" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)">ακτίνια</a>.) Συγκεκριμένα, αν</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="x = \pi,\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/a/e1ab85f3f2abe66ab8c9e824a41ba93a.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
τότε</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/8/e/a8ea600cf1fad24caf2844a34ce3929a.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Αφού</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt=" \cos\pi=-1 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \ \sin\pi=0 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/5/945626988cbe4628b35f4c327c0eae3a.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Συνεπώς,</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e^{i \pi} = -1,\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/1/c/f1cd6e9c1e708549bf56fa80038cdd2f.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
που δίνει την ταυτότητα</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 1.6em; margin-right: 0px;"><img alt="e^{i \pi} +1 = 0.\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/b/0/9b0db59874cc7c1cc97abd52402520fe.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-41360729190691188912014-02-19T09:00:00.001-08:002014-02-19T09:00:24.679-08:00Το Σύμπαν είναι φτιαγμένο από μαθηματικά<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="MsoNormal">
Από τι είναι φτιαγμένο το Σύμπαν; Οι πιο ρομαντικοί θα
έλεγαν από αστερόσκονη, οι πιο πρακτικοί θα πουν από ύλη - φανερή, που τη
βλέπουμε γύρω μας, και αόρατη, που την ονομάζουμε σκοτεινή. Ενας διάσημος
κοσμολόγος,<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
ο Μαξ Τέγκμαρκ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης
(ΜΙΤ), έχει μια διαφορετική ιδέα: υποστηρίζει ότι το Σύμπαν είναι φτιαγμένο
από... μαθηματικά.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ο καθηγητής Τέγκμαρκ, ο οποίος έχει επίσης διατυπώσει τη
λεγόμενη Θεωρία των πάντων του απόλυτου συνόλου (Ultimate ensemble theory of
everything), που υποστηρίζει ότι όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά υπάρχουν
επίσης και φυσικά, κυκλοφόρησε μόλις ένα βιβλίο με τον τίτλο «Our Mathematical
Universe:<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
My Quest for the Ultimate Nature of Reality» (Knopf, 2014),
στο οποίο αναλύει τις απόψεις του για το ευρύ κοινό. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Με αυτή την αφορμή έδωσε τον περασμένο Ιανουάριο μια διάλεξη
στη Νέα Υόρκη, από την οποία σας μεταφέρουμε - μέσω των όσων γράφτηκαν στον
αμερικανικό Τύπο - την κεντρική ιδέα.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Μαθηματικές δομές<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Σύμφωνα με τον καθηγητή Τέγκμαρκ, ό,τι υπάρχει στον κόσμο
μας - από τα «άψυχα» πράγματα όπως οι πλανήτες ως τα έμψυχα όντα όπως οι
άνθρωποι - αποτελεί μέρος μιας μαθηματικής δομής. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Κάθε μορφή ύλης αποτελείται από άτομα τα οποία έχουν
ιδιότητες, όπως π.χ. το φορτίο ή το σπιν τους, όμως αυτές οι ιδιότητες
περιγράφονται μαθηματικά, επισημαίνει. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Αντίστοιχα, προσθέτει, το ίδιο το Διάστημα έχει και αυτό
ιδιότητες, όπως π.χ. οι διαστάσεις του, αλλά τελικά στο σύνολό του δεν είναι
παρά μια μαθηματική δομή.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
«Αν δεχθείτε την ιδέα ότι τόσο το ίδιο το Διάστημα όσο και
όλα τα πράγματα που υπάρχουν μέσα σε αυτό δεν έχουν καθόλου ιδιότητες εκτός από
τις μαθηματικές τους ιδιότητες, τότε η ιδέα ότι όλα είναι μαθηματικά αρχίζει να
ακούγεται λίγο λιγότερο τρελή» είπε στη διάλεξή του. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
«Αν η ιδέα μου είναι λανθασμένη, τότε η Φυσική είναι τελικά
καταδικασμένη. Αν όμως το Σύμπαν είναι μαθηματικά, τότε δεν υπάρχει σε αυτό
τίποτε που να μην μπορούμε κατ' αρχήν να καταλάβουμε».<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ο Μαξ Τέγκμαρκ, καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Ινστιτούτου
Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης και το νέο του βιβλίο «Our Mathematical Universe»<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ο καθηγητής Τέγκμαρκ επεσήμανε ότι στη φύση βλέπουμε παντού
μοτίβα. Ως ένα παράδειγμα ανέφερε την ακολουθία του Φιμπονάτσι, μια σειρά
αριθμούς όπου ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται
από αυτόν, την οποία βλέπουμε συχνά στη φύση: <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
τα άνθη της αγκινάρας, μεταξύ άλλων, φαίνεται να υπακούουν
πιστά σε αυτό το μαθηματικό μοτίβο, αφού η απόσταση που έχει κάθε πέταλο από το
προηγούμενο ακολουθεί κατ' αναλογίαν αυτή την ακολουθία. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Εκτός από τον έμβιο κόσμο, τα μαθηματικά, προσέθεσε, είναι
επίσης πανταχού παρόντα στον άψυχο κόσμο: όταν πετάμε μια μπάλα του μπέιζμπολ
στον αέρα, αυτή ακολουθεί σε γενικές γραμμές μια παραβολική πορεία, ενώ οι
πλανήτες και τα άλλα αστροφυσικά σώματα ακολουθούν ελλειπτικές τροχιές.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Η αποτύπωση της ομορφιάς της φύσης<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
«Υπάρχει μια κομψή απλότητα και ομορφιά στη φύση που
αποκαλύπτεται από μαθηματικά μοτίβα και σχήματα και την οποία τα μάτια μας
μπόρεσαν να συλλάβουν» τόνισε, επισημαίνοντας ότι η μαθηματική φύση του <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Σύμπαντος είναι αυτή που δίνει στους επιστήμονες τη
δυνατότητα να προβλέψουν θεωρητικά οποιαδήποτε παρατήρηση ή μέτρηση στη Φυσική.
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ως παραδείγματα ανέφερε ότι τα μαθηματικά ήταν εκείνα που
προέβλεψαν την ύπαρξη του πλανήτη Ποσειδώνα, των ραδιοκυμάτων και του μποζονίου
Χιγκς πολύ πριν από την «απτή» απόδειξή τους.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Για τον Μαξ Τέγκμαρκ (ο οποίος λατρεύει τόσο τα μαθηματικά
ώστε έχει διακοσμήσει το σαλόνι του με κορνιζαρισμένες διάσημες εξισώσεις) η
μαθηματική δομή που υπάρχει στον φυσικό κόσμο δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι
πραγματικά και δεν υπάρχουν μόνο μέσα στο ανθρώπινο μυαλό. <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Πιστεύει δε ότι κάποτε θα μπορέσουν να εξιχνιάσουν τα ίδια
τα μυστικά του φωτίζοντας το εκπληκτικό μυστήριο του ανθρώπινου εγκεφάλου και
της συνείδησης.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
Πηγή: tovima.gr<o:p></o:p></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-91806034808733124382014-02-19T02:52:00.000-08:002014-02-19T02:52:25.974-08:00Η τελική εξεταστέα ύλη στα μαθηματικά (Άλγεβρα και Γεωμετρία) της Α΄Ημερησίου ΓΕ.Λ. και Α΄και Β΄Εσπερινού<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.alfavita.gr/arthron/%CE%B7-%CF%84%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%AE-%CE%B5%CE%BE%CE%B5%CF%84%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%AD%CE%B1-%CF%8D%CE%BB%CE%B7-%CF%83%CF%84%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1-%CF%84%CE%B7%CF%82-%CE%B1%CE%84%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CF%81%CE%B7%CF%83%CE%AF%CE%BF%CF%85-%CE%B3%CE%B5%CE%BB-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%B1%CE%84%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%B2">Πίνακας ύλης Α' Λυκείου για Άλγεβρα και Γεωμετρία</a><br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-19401964608024078792014-02-19T00:53:00.000-08:002014-02-19T03:03:48.913-08:00Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h3 class="post-title entry-title" style="font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; margin: 0px; position: relative;">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;">Έστω ότι κάποιος σας προτείνει το εξής στοίχημα:</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: small;">
Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικές φορές. Αν την πρώτη φορά έρθει «κορώνα» θα
πληρωθείτε 1 ευρώ και το παιχνίδι συνεχίζεται όσο το νόμισμα θα έρχεται
«κορώνα».<br />
Ωστόσο, την δεύτερη φορά θα λάβετε 2 ευρώ, την τρίτη 4 ευρώ, την τέταρτη 8
ευρώ, κοκ.<br />
Την πρώτη φορά που θα έρθουν «γράμματα» το παιχνίδι λήγει και εσείς λαμβάνετε
το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.<br />
Η ερώτηση που σας τίθεται, και αποτελεί το αντικείμενο του προβληματισμού σας,
είναι η εξής:<br />
Ποιo είναι το ελάχιστο ποσό που είστε έτοιμοι να πληρώσετε ώστε να συμμετάσχετε
στο στοίχημα;<br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=5576228009479921503" name="more"></a>Λογικά σε ένα τυχερό παιχνίδι σας συμφέρει να συμμετέχετε εάν
το αναμενόμενο κέρδος είναι μεγαλύτερο από το κόστος συμμετοχής.<br />
Για παράδειγμα σε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζεις 10 ευρώ με πιθανότητα 1/2,
σε συμφέρει να συμμετέχεις πληρώνοντας οποιοδήποτε ποσό μικρότερο από
5 ευρώ, επειδή τότε το αναμενόμενο κέρδος, πού είναι το ποσό που κερδίζεις επί
την πιθανότητα να το κερδίσεις (10€ * 1/2), είναι μεγαλύτερο.<br />
Στο στοίχημα που σας προτάθηκε, και με βάση τις πιθανότητες, περιμένετε ότι θα
κερδίσετε:<br />
<br />
(1€ * 1/2) + (2€ * 1/4) + (4€ * 1/8) + (8€ * 1/16) +...<br />
<br />
το οποίο είναι:<br />
<br />
0,5€ + 0,5€ + 0,5€ + 0,5€ +...<br />
<br />
Επειδή η πρώτη «κορώνα» μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να
εμφανισθεί, προκύπτει ότι το συνολικό αναμενόμενο κέρδος είναι θεωρητικά άπειρο
και πως σας συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να
συμμετάσχετε στο παιχνίδι.<br />
Παρόλα αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10
ευρώ περίπου, για να παίξει το συγκεκριμένο παιχνίδι, και αυτό είναι το
παράδοξο.<br />
Το τυχερό παιχνίδι επινοήθηκε από τον Nicholas Bernulli και αργότερα ο Daniel
Bernulli το δημοσίευσε στο «<i>Commentaries of the Imperial Academy of Science
of Saint Petersburg</i>» και για αυτό ονομάστηκε το <i>παράδοξο της Αγίας
Πετρούπολης</i> (St. Petersburg paradox).<br />
Μάλιστα ο Daniel Bernoulli έκανε και μια πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση: «Ο
προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά
μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδετε... Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η
αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε
έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.»<br />
Η «αξία» του χρήματος για τον κάθε υποψήφιο παίκτη καθώς και ο κορεσμός της
ευτυχίας που επέρχεται όταν αυξάνονται τα ευρώ, είναι παράμετροι που δεν
λαμβάνει υπόψη του ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους και αυτός είναι ένας
σοβαρός λόγος που οι προσφορές για την συμμετοχή στο παιχνίδι δεν αντιστοιχούν
στα θεωρητικά αναμενόμενα κέρδη.<br />
Το 1783 ο Daniel Bernoulli έγραψε το βιβλίο «<i>Specimen theoriae novae de
mensura sortis</i>» (Στοιχεία μιας Νέας Θεωρίας για την Εκτίμηση Κινδύνου), στο
οποίο το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης γινόταν η βάση της οικονομικής θεωρίας
της αποστροφής κινδύνου, του ασφάλιστρου κινδύνου και της οικονομικής ωφέλειας.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</h3>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-80450332827601500512014-02-18T06:22:00.000-08:002014-02-18T06:22:16.037-08:00Συλλογή Ασκήσεων από mathematica.gr<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Μία συλλογή ασκήσεων για την γ λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης από το mathematica.gr<div>
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8TFlwTnJfWlJFbnM/edit?usp=sharing">Συλλογή Ασκήσεων από mathematica.gr</a></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-75765921150331172192014-02-18T02:23:00.006-08:002014-02-19T09:04:30.908-08:00Μαθηματικοί Γρίφοι<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="MsoNormal">
(πηγη: <a href="http://users.hol.gr/~pantsik/">γρίφοι
και αποφθέγματα</a>)<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
(Οι αστερίσκοι στο πλάι των επικεφαλίδων υποδεικνύουν τον
βαθμό δυσκολίας του κάθε γρίφου)<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_1:_Τα"></a><b>Γρίφος 1: Τα πρόβατα (***)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται το τέλος του. έχει 3 γιους
στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει δίκαια, την περιούσια
του.<br />
Η περιούσια του είναι μόνο 19 πρόβατα. Ούτε 18 ούτε 20, 19.<br />
Στον πρώτο του γιο ως και πρωτότοκος θέλει να αφήσει το 1/2 των πρόβατων.<br />
Στον δεύτερο το 1/4 των πρόβατων. και στο τρίτο και τελευταίο το 1/5. Σε καμία
περίπτωση δεν θέλει οι γιοι του να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντας
τα. Βλέπεις αγαπάει τα πρόβατα σαν παιδία του. Τι πρέπει οι γιοι του να κάνουν? <o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_2:_Οικογενειακά"></a><b>Γρίφος 2:
Οικογενειακά (**)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Ο Πέτρος και η Μαρία ζουν μαζί με τα 12 παιδιά τους. Κάποια
από αυτά είναι από τον προηγούμενο γάμο του Πέτρου και κάποια από τον
προηγούμενο γάμο της Μαρίας. Ο καθένας τους συνδέεται άμεσα με 9 από τα παιδιά
αυτά. Πόσα παιδιά απέκτησαν μαζί;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_3:_Ο"></a><b>Γρίφος 3: Ο τοξότης (*)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Ένας τοξότης έχει ένα τόξο και εξήντα βέλη. Αν ρίξει το πρώτο
του βέλος στις 12:00 το μεσημέρι και συνεχίσει να ρίχνει ένα βέλος κάθε λεπτό,
τι ώρα θα του τελειώσουν τα βέλη;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_4:_Ο"></a><b>Γρίφος 4: Ο πονηρός
επιχειρηματίας (*)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Ένας επιχειρηματίας σκέφτηκε το παρακάτω συνταξιοδοτικό
πρόγραμμα για τους υπαλλήλους του: Τους είπε πως θα τους δώσει σύνταξη αμέσως
μόλις ο καθένας τους εργασθεί για 8 καθαρές ώρες στο ταμείο της εταιρίας. Η
μόνη προϋπόθεση που έθεσε ήταν ότι κανένας τους δεν επιτρέπεται να εργασθεί
κάθε μέρα, περισσότερο από το μισό του χρόνου που του απομένει για να
συμπληρώσει τις 8 αυτές ώρες. Την πρώτη μέρα δηλαδή ένας υπάλληλος μπορεί να
εργασθεί στο ταμείο μέχρι 4 ώρες, τη δεύτερη μέχρι 2, κ.ο.κ. Σε πόσες ημέρες αυτός
ο υπάλληλος θα μπορέσει να βγει στη σύνταξη;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_5:_Αγώνας"></a><b>Γρίφος 5: Αγώνας δρόμου
(**)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Ο Ανδρέας και ο Βασίλης έτρεξαν σε μια κούρσα 100 μέτρων.
Όταν ο Ανδρέας τερμάτισε, ο Βασίλης βρισκόταν στα 90 μέτρα. Ο Ανδρέας πρότεινε
στον Βασίλη να ξανατρέξουν αλλά αυτή τη φορά θα ξεκινούσε 10 μέτρα πίσω απ' τον
Βασίλη για να είναι πιο αμφίρροπο το αποτέλεσμα. Αν κρατηθούν όλες οι άλλες
συνθήκες ίδιες, θα κερδίσει ο Ανδρέας, ο Βασίλης ή θα τερματίσουν ταυτόχρονα;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_6:_Παράξενος"></a><b>Γρίφος 6: Παράξενος
δεκαψήφιος (*****) <o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος γράψτε έναν δεκαψήφιο αριθμό, ώστε το ψηφίο
στην πρώτη θέση να δείχνει τον συνολικό αριθμό των μηδενικών του αριθμού, το
ψηφίο στη θέση με την ένδειξη 1 να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 1 και ούτω
καθεξής, μέχρι την τελευταία θέση, το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει τον
συνολικό αριθμό των 9 στον αριθμό. Η απάντηση είναι μοναδική.<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_7:_Δώρο"></a><b>Γρίφος 7: Δώρο γενεθλίων
(**)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ένας πατέρας αποφασίζει να κάνει μια επένδυση για το γιο
του. Κάθε επέτειο των γενεθλίων του, κάνει γι' αυτόν μια κατάθεση στην τράπεζα
10.000 δρχ. Όταν ο μικρός έγινε είκοσι χρονών πάει στην τράπεζα να εισπράξει το
ποσό. Προς έκπληξή του όμως διαπιστώνει ότι στον λογαριασμό του έχουν κατατεθεί
μόνο 50.000 δρχ. Πως γίνεται αυτό;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_8:_Τα"></a><b>Γρίφος 8: Τα τρία μπιφτέκια
(*) <o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Κάποιος θέλει να ψήσει τρία μπιφτέκια σ' ένα μπάρμπεκιου που
χωράει μόνο δύο. Χρειάζονται 5 λεπτά για να ψηθεί η κάθε πλευρά του μπιφτεκιού,
οπότε υπολογίζει πως χρειάζεται 10 λεπτά για να ψήσει τις δύο πλευρές των δύο
πρώτων μπιφτεκιών και άλλα 10 για να ψήσει το τρίτο. Μήπως υπάρχει κανένας
συντομότερος τρόπος;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Γρίφος_9:_Χαμένη"></a><b>Γρίφος 9: Χαμένη δραχμή
(****)<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι
κρασί που κοστίζει 300 δρχ. δίνοντας 100 δρχ. ο καθένας. Φεύγοντας, τους
προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι
στοιχίζει 295 και όχι 300 δρχ. και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 δρχ. ρέστα. Αυτοί
αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ. στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1
δρχ. και δίνουν 2 δρχ. φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο
τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 100 δρχ. και πήρε μία πίσω, άρα 99
δρχ. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2 δρχ. για το φιλοδώρημα, 299. Τι
έγινε η μία δραχμή;<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Μαθηματικοί γρίφοι (απαντήσεις)<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_1:_Ο"></a><b>Απάντηση 1:</b> Ο
πατέρας αγοράζει ακόμα ένα πρόβατο, οπότε τα πρόβατα γίνονται 20. Ο πρώτος γιος
παίρνει το 1/2 , δηλαδή 10 πρόβατα. Ο δεύτερος γιος παίρνει το 1/4 , δηλαδή 5
πρόβατα. Ο τρίτος γιος παίρνει το 1/5 , δηλαδή 4 πρόβατα. μένει ακόμα ένα
πρόβατο στο μαντρί , το οποίο ο γέρος ξανά πουλάει.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_2:_Μαζί"></a><b>Απάντηση 2:</b> Μαζί
απέκτησαν 6 παιδιά. Τρία είχε ο Πέτρος από τον πρώτο γάμο του και τρία η Μαρία.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_3:_Στις"></a><b>Απάντηση 3:</b> Στις
12:59.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_4:_Δεν"></a><b>Απάντηση 4:</b> Δεν
θα βγει στη σύνταξη ποτέ! Ο υπολειπόμενος χρόνος διαιρείται συνεχώς στα δύο
αλλά δεν μηδενίζει.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_5:Όταν_ο"></a><a href="" name="_Απάντηση_5:_Όταν"></a><b>Απάντηση
5:</b> Όταν ο Ανδρέας θα έχει τρέξει 100 μέτρα, ο Βασίλης θα έχει τρέξει
90. Άρα θα συναντηθούν 10 μέτρα πριν τον τερματισμό. Επειδή όμως ο Ανδρέας
είναι πιο γρήγορος, θα διανύσει τα τελευταία αυτά μέτρα ταχύτερα και θα
τερματίσει και πάλι πρώτος.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_6:_Ο"></a><b>Απάντηση 6:</b> Ο
αριθμός είναι ο 6210001000<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_7:_Ο"></a><b>Απάντηση 7:</b> Ο
μικρός έχει γεννηθεί 29 Φεβρουαρίου.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_8:_Ονομάζουμε"></a><b>Απάντηση 8:</b> Ονομάζουμε
τα τρία μπιφτέκια Α, Β και Γ και τις δύο πλευρές τους 1 και 2. Ένας τρόπος για
να ψηθούν είναι ο εξής: Ψήνει πρώτα το Α1 με το Β1 για 5 λεπτά. Στη συνέχεια το
Α2 με το Γ1 για άλλα 5 και τέλος το Β2 με το Γ2 για άλλα 5. Συνολικός χρόνος
και για τα τρία: 15 λεπτά.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<a href="" name="_Απάντηση_9:_Στις"></a><b>Απάντηση 9:</b> Στις
297 δρχ. που δώσανε και οι τρεις μαζί, συμπεριλαμβάνονται και οι 2 δρχ. του
φιλοδωρήματος. Πρέπει να αφαιρέσουμε και όχι να προσθέσουμε το φιλοδώρημα στο
ποσό που πλήρωσαν για να βρούμε την αξία του κρασιού. Πράγματι: 297 – 2 = 295.<b><i><o:p></o:p></i></b></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-41861026431966799302014-02-18T02:20:00.002-08:002014-02-18T02:20:32.641-08:00Θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας από Study4Exams<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Μία συλλογή θεμάτων από το site του υπουργείου παιδείας με θέματα προσομοίωσης για το μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας της Γ' Λυκείου<div>
Η παρούσα συλλογή αφορά τόσο θεωρητικά θέματα όσο και εφαρμογές, λυμένα παραδείγματα, διαβαθμισμένα ανάλογα με τον βαθμό δυσκολίας, όλα σε ένα PDF αρχείο.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8Wk9jelVsY3dZTk0/edit?usp=sharing">Study4Exams Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας</a></div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-29891818762610736742014-02-18T02:08:00.000-08:002014-02-18T02:08:11.792-08:00Συλλογή Ασκήσεων Γ' Λυκείου<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Λυμένα παραδείγματα που καλύπτουν ένα μεγάλο φάσμα της ύλης της Γ' Λυκείου στα μαθηματικά Κατεύθυνσης<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxkeL2-SdBW8Wk9jelVsY3dZTk0/edit?usp=sharing">Συλλογή Ασκήσεων Γ' Λυκείου</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-13375022392515158382014-02-18T02:02:00.002-08:002014-02-18T02:02:40.833-08:00Πιλοτική εφαρμογή της εξέτασης με επιλογή θεμάτων από τράπεζα θεμάτων<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: center;">
<strong>ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ<br />Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34<br />106 79 ΑΘΗΝΑ<br />Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025<br />e-mail : <a class="spamspan" href="mailto:info@hms.gr" style="color: #656a44; text-decoration: none;">info@hms.gr</a><br />www.hms.gr</strong></div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: right;">
Αθήνα, 31 Ιανουαρίου 2014<br />Αρ. πρωτ. 14923/31 1-2013</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Υπουργό Παιδείας και Θρησκευμάτων<br />κ. Κωνσταντίνο Αρβανιτόπουλο</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Υφυπουργό Παιδείας και Θρησκευμάτων<br />κ. Συμεών Κεδίκογλου</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Γενικό Γραμματέα Υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων<br />κ. Αθανάσιο Κυριαζή</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Κοινοποίηση: Πρόεδρο Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής κ. Σωτήρη Γκλαβά</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Θέμα: <strong>Πιλοτική εφαρμογή της εξέτασης με επιλογή θεμάτων από τράπεζα θεμάτων</strong></div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Το Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, όπως ανακοίνωσε, προτίθεται από φέτος να εφαρμόσει στις προαγωγικές εξετάσεις της Α΄ Λυκείου τη διαδικασία της επιλογής θεμάτων από τράπεζα θεμάτων.<br /> Η δημιουργία τράπεζας θεμάτων έχει πολλά θετικά στοιχεία. Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία για περισσότερα από δέκα χρόνια <strong>έχει θεσπίσει τράπεζα θεμάτων</strong>, που είναι προσβάσιμη στους καθηγητές και μαθητές, στον ιστότοπο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (<span style="color: blue;">www.hms.gr</span>).</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Δεκάδες μαθηματικοί έχουν απασχοληθεί όλα αυτά τα χρόνια σε εθελοντική βάση για να διατηρείται μια σύγχρονη τράπεζα θεμάτων, που να ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις κάθε φορά της Μαθηματικής Εκπαίδευσης και συνεχώς ανανεούμενη.</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία θα υποστήριζε το προτεινόμενο μέτρο της επιλογής θεμάτων για τις προαγωγικές της Α΄ Λυκείου από τράπεζα θεμάτων, αν οι αρμόδιοι φορείς του Υπουργείου Παιδείας είχαν πραγματοποιήσει, ως όφειλαν, μια σοβαρή προετοιμασία, όπως απαιτείται για την επιτυχία του παραπάνω μέτρου, που αφορά τους μαθητές της Α΄ Λυκείου όλης της χώρας.</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία :<br />• θεωρεί ότι η σωστή προετοιμασία μιας ποιοτικά δομημένης τράπεζας θεμάτων απαιτεί <strong>τουλάχιστον ενός έτους προετοιμασία. </strong><br />• προτείνει τη <strong>δημιουργία συντονιστικών επιτροπών ελέγχου</strong> ανά τακτά διαστήματα της πορείας της ύλης για τα μαθήματα που προβλέπεται να εξετάζονται μέσω τράπεζας θεμάτων.<br />• η πρώτη εφαρμογή ενός πανελλαδικής εμβέλειας μέτρου <strong>οφείλει να είναι πιλοτική</strong>, προκειμένου να γίνουν οι απαραίτητες προσαρμογές για την επιτυχημένη εφαρμογή του.<br />• <strong>διαθέτει εκτός της τράπεζας θεμάτων και αρχείο των περιοδικών Ευκλείδη Α και Β</strong> που περιέχει υλικό, ικανό να υπερκαλύψει τις ανάγκες μιας ποιοτικής τράπεζας θεμάτων για όλες τις τάξεις.</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Πάγια θέση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας είναι να συμβάλει και όπου κληθεί θεσμικά να συμμετάσχει με επεξεργασμένες θέσεις σε όποιες σοβαρές προσπάθειες γίνονται για τη βελτίωση της Μαθηματικής Παιδείας στη χώρα. Όλα τα χρόνια λειτουργίας της έχει καταθέσει πολλές φορές προτάσεις προς το Υπουργείο Παιδείας για τη διαμόρφωση των καταλλήλων προϋποθέσεων που βελτιώνουν το Εκπαιδευτικό Σύστημα. </div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: center;">
Για το Διοικητικό Συμβούλιο<br />της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας</div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: #ecede3; color: #5f6440; font-family: Tahoma, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.5em; text-align: justify;">
Ο Πρόεδρος Ο Γενικός Γραμματέας<br /> Γεώργιος Δημάκος Εμμανουήλ Κρητικός<br />Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Επίκουρος καθηγητής Οικονομικού<br /> Πανεπιστημίου Αθηνών </div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-84267551655008850252012-09-06T04:09:00.000-07:002012-09-06T04:09:34.651-07:00Θέματα από την Ομοσπονδία Φροντιστηρίων Ελλάδος<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.oefe.gr/%CE%A6%CF%81%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AD%CF%82/%CE%95%CF%80%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%BB%CE%B7%CF%80%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%B1%CE%98%CE%AD%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1/tabid/95/Default.aspx">Θέματα ΟΕΦΕ</a><br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-23966746000113682402012-08-30T09:14:00.001-07:002012-08-30T09:14:50.910-07:00Η Σωστή Μελετή των Μαθηματικών<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<style type="text/css">
<!--
@page { margin: 2cm }
P { margin-bottom: 0.21cm }
-->
</style>
<br />
Τα μαθηματικά θεωρούνται από την
μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών, ως ένα
μάθημα που περιλαμβάνει μόνο πρακτικές
εφαρμογές (ασκήσεις). Το συμπέρασμα αυτό
δεν είναι ολότελα εσφαλμένο καθώς το
μεγαλύτερο μέρος της διδασκαλίας
αναλώνεται σε αυτό το κομμάτι του
μαθήματος. Άρα για την μελέτη και γνώση
του μαθήματος, θα πει κάποιος, πως
απαιτείται η επίλυση μόνο ενός μεγάλου
όγκου ασκήσεων.
<br />
Εδώ έγκειται το λάθος που κάνει η
πλειονότητα των μαθητών. Καταβάλουν
δηλαδή προσπάθεια να λύσουν τα προβλήματα
που τους τίθενται, χωρίς πρώτα να έχουν
εμβαθύνει στην θεωρία, με αποτέλεσμα
κάτι τέτοιο να καθίσταται αδύνατο.
Γεννάται τώρα το ερώτημα: <b>Πώς πρέπει
άραγε να μελετάμε τα μαθηματικά;</b><br />
Αρχικά πρέπει να <b>μάθουμε </b>και να
<b>κατανοήσουμε</b> καλά την θεωρία. Στο
εν λόγω μάθημα η απλή αποστήθιση δεν
είναι επαρκείς. Έτσι αν απλά “παπαγαλίσουμε”
ένα θεώρημα ή έναν ορισμό χωρίς να τον
αφομοιώσουμε, τότε το πιθανότερο είναι
να μην μπορέσουμε να το εφαρμόσουμε
πότε. Κάθε λέξη, κάθε σχέση που εμφανίζεται
στην διατύπωση ενός θεωρήματος ή ενός
ορισμού έχει την ερμηνεία της και τις
περισσότερες φορές οδηγεί και σε κάτι
άλλο, μίαν άλλη ερμηνεία, μίαν άλλη
έννοια.
<br />
Στην συνέχεια και αφού έχουμε τελειώσει
με την θεωρία, μπορούμε να περάσουμε
στον χώρο των ασκήσεων – προβλημάτων,
που συχνά καλούμαστε να επιλύσουμε στα
πλαίσια του μαθήματος. Για την επίλυση
μίας άσκησης ακολουθούμε τα εξής βήματα:<br />
<ol>
<li>Αρχικά προσφεύγουμε στην μελέτη
των λυμένων παραδειγμάτων. <b>Προσοχή </b><span style="font-weight: normal;">
τα λυμένα παραδείγματα στα μαθητικά
δεν διαβάζονται σαν θεωρία. Επιβάλλεται
να καταβάλλουμε πρωταρχικά, προσπάθεια
έτσι ώστε να τα λύσουμε χρησιμοποιώντας
την δική μας επιδεξιότητα. Η λύση που
ήδη υπάρχει χρησιμοποιείται επικουρικά,
σε περίπτωση που αδυνατούμε να
προχωρήσουμε, μόνον για να δώσει μία
μικρή ώθηση και όχι την απάντηση
ολοκληρωμένα. Σημαντικό είναι επίσης
κατά την ανάγνωση της λύσης ενός
προβλήματος, να μας απασχολεί ένα
“</span><b>γιατί”</b><span style="font-weight: normal;">.
Δηλαδή το πως κατορθώνει ο λύτης να
μεταβεί από το ένα βήμα στο άλλο. Μόνον
έτσι, εφόσον</span><b> λύσουμε όλες μας τις
απορίες</b><span style="font-weight: normal;"> θα είμαστε
σε θέση να διατυπώσουμε τις δικές μας
λύσεις. Εν συνεχεία οδηγούμαστε στα
άλυτα προβλήματα.</span><br />
</li>
<li>Εδώ διαβάζουμε πρώτιστα ολόκληρη
την εκφώνηση της άσκησης, έως ότου την
κατανοήσουμε πλήρως. Είναι θεμελιώδης
να έχουμε <b>αποσαφηνίσει</b> τόσο όλα τα
<b>δεδομένα</b>, όσο όλα τα <b>ζητούμενα</b>
ενός προβλήματος, πριν προχωρήσουμε
σε οποιαδήποτε ενέργεια. Εάν συναντήσουμε
μία άγνωστη λέξη ή μία σχέση, που δεν
μπορούμε να κατανοήσουμε πλήρως, τότε
επιστρέφουμε στην θεωρία και αναζητούμε
την ερμηνεία της.<br />
</li>
<li>Οργανώνουμε ένα πλάνο, μία στρατηγική
επίλυσης. Σημαντικό ρόλο παίζει η
<b>κατηγοριοποίηση</b> των ασκήσεων και
η <b>μελέτη των τρόπων επίλυσης</b>
(μεθοδολογία) της κάθε κατηγορίας. Κάθε
πρόβλημα στα μαθηματικά δεν είναι
απαραίτητα μοναδικό, αλλά συχνά συνδέεται
είτε με άλλα προγενέστερα, είτε ανήκει
σε μία κατηγορία όμοιων προβλημάτων
που επιλύονται ακολουθώντας την ίδια
περίπου διαδικασία. Στα σύνθετα
προβλήματα, ενδέχεται να απαιτηθεί η
χρήση περισσοτέρων της μίας “μεθοδολογίας”,
ή ο συνδυασμός περισσοτέρων θεωρημάτων,
έτσι ώστε να καταλήξουμε στο επιθυμητό.<br />
</li>
<li>Τέλος, με προσοχή και χωρίς βιασύνη,
προχωρούμε στην τελική φάση που είναι
και η σύνταξη της λύσης.
<br />
</li>
</ol>
Η επόμενη απορία που γεννάται είναι
η εξής: <b>Με την ανωτέρω διαδικασία μπορώ
να αντιμετωπίσω οποιοδήποτε πρόβλημα;
Αν ναι που έγκειται η δυσκολία;</b><br />
Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι
πώς στα πλαίσια των σχολικών μαθηματικών
η παραπάνω διαδικασία οδηγεί σχεδόν
<b>πάντα στην λύση</b> οποιουδήποτε
προβλήματος. Η δυσκολία των μαθηματικών,
σε αντίθεση με άλλα μαθήματα, έγκειται
στο γεγονός ότι οι κλάδοι που μελετούμε
συνδέονται μεταξύ τους. Δηλαδή σε ένα
μαθηματικό πρόβλημα της Γ' Λυκείου, για
παράδειγμα, είναι σύνηθες να απαιτούνται
γνώσεις και περασμένων ετών, άλλες φορές
απλοϊκές και άλλες φορές ποίο σύνθετες.
Αυτό καθιστά το μάθημα ιδιαίτερα
απαιτητικό και επίπονο, καθώς ένας
μαθητής που δεν έχει επιδείξει μία<b>
συνέπεια στην μελέτη</b><span style="font-weight: normal;">,</span>
κατά την διάρκεια του έτους ή των ετών,
θα βρεθεί αντιμέτωπος με ένα μεγάλο
σκόπελο. Η συστηματική λοιπόν μελέτη
των μαθηματικών, έτσι ώστε να μην
δημιουργούνται “γνωστικά κενά”, είναι
επιβεβλημένη.<br />
Να μην λησμονούμε πώς τα μαθηματικά
είναι η επιστήμη της λογικής. Εάν
κατορθώσουμε λοιπόν να βάλουμε σε μία
σειρά την σκέψη, τις γνώσεις και την
επιδεξιότητά μας τότε θα μπορέσουμε με
ευκολία να ανταποκριθούμε στις απαιτήσεις
του μαθήματος. <b>Καλή μελέτη... </b>
<br />
<br /><br />
<br />
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5576228009479921503.post-78510698675436753502012-08-29T09:32:00.001-07:002012-08-29T09:35:43.953-07:00Ένα βίντεο σχετικά με την Ιστορία των Μαθηματικών<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=SrKVRn6lvNs">Η μικρή Ιστορία των Μαθηματικών</a><span id="goog_224073307"></span><a href="http://www.blogger.com/"></a><span id="goog_224073308"></span> <br />
Η χρονολογική εξέλιξη και οι διάφορες θεωρίες που αναπτύχθηκαν στο πέρασμα του χρόνου. Παρουσιάση όλων εκείνων που άλλαξαν τον ρου της μαθηματικής σκέψης.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03059122227902966322noreply@blogger.com0