27-03-14 Ανακοίνωση αριθμού εισακτέων στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση για το ακαδημαϊκό έτος 2014-2015

Ανακοίνωση αριθμού εισακτέων στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση για το ακαδημαϊκό έτος 2014-2015

Ταυτότητα του Όιλερ

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

όπου

 είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

 είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα , και

 ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

τότε

Αφού

Συνεπώς,

που δίνει την ταυτότητα

Το Σύμπαν είναι φτιαγμένο από μαθηματικά

Από τι είναι φτιαγμένο το Σύμπαν; Οι πιο ρομαντικοί θα έλεγαν από αστερόσκονη, οι πιο πρακτικοί θα πουν από ύλη - φανερή, που τη βλέπουμε γύρω μας, και αόρατη, που την ονομάζουμε σκοτεινή. Ενας διάσημος κοσμολόγος,

ο Μαξ Τέγκμαρκ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ), έχει μια διαφορετική ιδέα: υποστηρίζει ότι το Σύμπαν είναι φτιαγμένο από... μαθηματικά.

Ο καθηγητής Τέγκμαρκ, ο οποίος έχει επίσης διατυπώσει τη λεγόμενη Θεωρία των πάντων του απόλυτου συνόλου (Ultimate ensemble theory of everything), που υποστηρίζει ότι όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά υπάρχουν επίσης και φυσικά, κυκλοφόρησε μόλις ένα βιβλίο με τον τίτλο «Our Mathematical Universe:

My Quest for the Ultimate Nature of Reality» (Knopf, 2014), στο οποίο αναλύει τις απόψεις του για το ευρύ κοινό.

Με αυτή την αφορμή έδωσε τον περασμένο Ιανουάριο μια διάλεξη στη Νέα Υόρκη, από την οποία σας μεταφέρουμε - μέσω των όσων γράφτηκαν στον αμερικανικό Τύπο - την κεντρική ιδέα.

Μαθηματικές δομές

Σύμφωνα με τον καθηγητή Τέγκμαρκ, ό,τι υπάρχει στον κόσμο μας - από τα «άψυχα» πράγματα όπως οι πλανήτες ως τα έμψυχα όντα όπως οι άνθρωποι - αποτελεί μέρος μιας μαθηματικής δομής.

Κάθε μορφή ύλης αποτελείται από άτομα τα οποία έχουν ιδιότητες, όπως π.χ. το φορτίο ή το σπιν τους, όμως αυτές οι ιδιότητες περιγράφονται μαθηματικά, επισημαίνει.

Αντίστοιχα, προσθέτει, το ίδιο το Διάστημα έχει και αυτό ιδιότητες, όπως π.χ. οι διαστάσεις του, αλλά τελικά στο σύνολό του δεν είναι παρά μια μαθηματική δομή.

«Αν δεχθείτε την ιδέα ότι τόσο το ίδιο το Διάστημα όσο και όλα τα πράγματα που υπάρχουν μέσα σε αυτό δεν έχουν καθόλου ιδιότητες εκτός από τις μαθηματικές τους ιδιότητες, τότε η ιδέα ότι όλα είναι μαθηματικά αρχίζει να ακούγεται λίγο λιγότερο τρελή» είπε στη διάλεξή του.

«Αν η ιδέα μου είναι λανθασμένη, τότε η Φυσική είναι τελικά καταδικασμένη. Αν όμως το Σύμπαν είναι μαθηματικά, τότε δεν υπάρχει σε αυτό τίποτε που να μην μπορούμε κατ' αρχήν να καταλάβουμε».

Ο Μαξ Τέγκμαρκ, καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης και το νέο του βιβλίο «Our Mathematical Universe»

Ο καθηγητής Τέγκμαρκ επεσήμανε ότι στη φύση βλέπουμε παντού μοτίβα. Ως ένα παράδειγμα ανέφερε την ακολουθία του Φιμπονάτσι, μια σειρά αριθμούς όπου ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται από αυτόν, την οποία βλέπουμε συχνά στη φύση:

τα άνθη της αγκινάρας, μεταξύ άλλων, φαίνεται να υπακούουν πιστά σε αυτό το μαθηματικό μοτίβο, αφού η απόσταση που έχει κάθε πέταλο από το προηγούμενο ακολουθεί κατ' αναλογίαν αυτή την ακολουθία.

Εκτός από τον έμβιο κόσμο, τα μαθηματικά, προσέθεσε, είναι επίσης πανταχού παρόντα στον άψυχο κόσμο: όταν πετάμε μια μπάλα του μπέιζμπολ στον αέρα, αυτή ακολουθεί σε γενικές γραμμές μια παραβολική πορεία, ενώ οι πλανήτες και τα άλλα αστροφυσικά σώματα ακολουθούν ελλειπτικές τροχιές.

Η αποτύπωση της ομορφιάς της φύσης

«Υπάρχει μια κομψή απλότητα και ομορφιά στη φύση που αποκαλύπτεται από μαθηματικά μοτίβα και σχήματα και την οποία τα μάτια μας μπόρεσαν να συλλάβουν» τόνισε, επισημαίνοντας ότι η μαθηματική φύση του

Σύμπαντος είναι αυτή που δίνει στους επιστήμονες τη δυνατότητα να προβλέψουν θεωρητικά οποιαδήποτε παρατήρηση ή μέτρηση στη Φυσική.

Ως παραδείγματα ανέφερε ότι τα μαθηματικά ήταν εκείνα που προέβλεψαν την ύπαρξη του πλανήτη Ποσειδώνα, των ραδιοκυμάτων και του μποζονίου Χιγκς πολύ πριν από την «απτή» απόδειξή τους.

Για τον Μαξ Τέγκμαρκ (ο οποίος λατρεύει τόσο τα μαθηματικά ώστε έχει διακοσμήσει το σαλόνι του με κορνιζαρισμένες διάσημες εξισώσεις) η μαθηματική δομή που υπάρχει στον φυσικό κόσμο δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι πραγματικά και δεν υπάρχουν μόνο μέσα στο ανθρώπινο μυαλό.

Πιστεύει δε ότι κάποτε θα μπορέσουν να εξιχνιάσουν τα ίδια τα μυστικά του φωτίζοντας το εκπληκτικό μυστήριο του ανθρώπινου εγκεφάλου και της συνείδησης.

Πηγή: tovima.gr

Η τελική εξεταστέα ύλη στα μαθηματικά (Άλγεβρα και Γεωμετρία) της Α΄Ημερησίου ΓΕ.Λ. και Α΄και Β΄Εσπερινού

Πίνακας ύλης Α' Λυκείου για Άλγεβρα και Γεωμετρία

Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

Έστω ότι κάποιος σας προτείνει το εξής στοίχημα:

Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικές φορές. Αν την πρώτη φορά έρθει «κορώνα» θα πληρωθείτε 1 ευρώ και το παιχνίδι συνεχίζεται όσο το νόμισμα θα έρχεται «κορώνα».
Ωστόσο, την δεύτερη φορά θα λάβετε 2 ευρώ, την τρίτη 4 ευρώ, την τέταρτη 8 ευρώ, κοκ.
Την πρώτη φορά που θα έρθουν «γράμματα» το παιχνίδι λήγει και εσείς λαμβάνετε το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.
Η ερώτηση που σας τίθεται, και αποτελεί το αντικείμενο του προβληματισμού σας, είναι η εξής:
Ποιo είναι το ελάχιστο ποσό που είστε έτοιμοι να πληρώσετε ώστε να συμμετάσχετε στο στοίχημα;
Λογικά σε ένα τυχερό παιχνίδι σας συμφέρει να συμμετέχετε εάν το αναμενόμενο κέρδος είναι μεγαλύτερο από το κόστος συμμετοχής.
Για παράδειγμα σε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζεις 10 ευρώ με πιθανότητα 1/2, σε συμφέρει να συμμετέχεις πληρώνοντας οποιοδήποτε ποσό μικρότερο από 5 ευρώ, επειδή τότε το αναμενόμενο κέρδος, πού είναι το ποσό που κερδίζεις επί την πιθανότητα να το κερδίσεις (10€ * 1/2), είναι μεγαλύτερο.
Στο στοίχημα που σας προτάθηκε, και με βάση τις πιθανότητες, περιμένετε ότι θα κερδίσετε:

(1€ * 1/2) + (2€ * 1/4) + (4€ * 1/8) + (8€ * 1/16) +...

το οποίο είναι:

0,5€ + 0,5€ + 0,5€ + 0,5€ +...

Επειδή η πρώτη «κορώνα» μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει ότι το συνολικό αναμενόμενο κέρδος είναι θεωρητικά άπειρο και πως σας συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Παρόλα αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου, για να παίξει το συγκεκριμένο παιχνίδι, και αυτό είναι το παράδοξο.
Το τυχερό παιχνίδι επινοήθηκε από τον Nicholas Bernulli και αργότερα ο Daniel Bernulli το δημοσίευσε στο «Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg» και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St. Petersburg paradox).
Μάλιστα ο Daniel Bernoulli έκανε και μια πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση: «Ο προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδετε... Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.»
Η «αξία» του χρήματος για τον κάθε υποψήφιο παίκτη καθώς και ο κορεσμός της ευτυχίας που επέρχεται όταν αυξάνονται τα ευρώ, είναι παράμετροι που δεν λαμβάνει υπόψη του ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους και αυτός είναι ένας σοβαρός λόγος που οι προσφορές για την συμμετοχή στο παιχνίδι δεν αντιστοιχούν στα θεωρητικά αναμενόμενα κέρδη.
Το 1783 ο Daniel Bernoulli έγραψε το βιβλίο «Specimen theoriae novae de mensura sortis» (Στοιχεία μιας Νέας Θεωρίας για την Εκτίμηση Κινδύνου), στο οποίο το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης γινόταν η βάση της οικονομικής θεωρίας της αποστροφής κινδύνου, του ασφάλιστρου κινδύνου και της οικονομικής ωφέλειας.

Συλλογή Ασκήσεων από mathematica.gr

Μία συλλογή ασκήσεων για την γ λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης από το mathematica.gr

Συλλογή Ασκήσεων από mathematica.gr

Μαθηματικοί Γρίφοι

(πηγη: γρίφοι και αποφθέγματα)

(Οι αστερίσκοι στο πλάι των επικεφαλίδων υποδεικνύουν τον βαθμό δυσκολίας του κάθε γρίφου)

                              

Γρίφος 1: Τα πρόβατα (***)

Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται το τέλος του. έχει 3 γιους στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει δίκαια, την περιούσια του.
Η περιούσια του είναι μόνο 19 πρόβατα. Ούτε 18 ούτε 20, 19.
Στον πρώτο του γιο ως και πρωτότοκος θέλει να αφήσει το 1/2 των πρόβατων.
Στον δεύτερο το 1/4 των πρόβατων. και στο τρίτο και τελευταίο το 1/5. Σε καμία περίπτωση δεν θέλει οι γιοι του να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντας τα. Βλέπεις αγαπάει τα πρόβατα σαν παιδία του. Τι πρέπει οι γιοι του να κάνουν?  

Γρίφος 2: Οικογενειακά (**)

Ο Πέτρος και η Μαρία ζουν μαζί με τα 12 παιδιά τους. Κάποια από αυτά είναι από τον προηγούμενο γάμο του Πέτρου και κάποια από τον προηγούμενο γάμο της Μαρίας. Ο καθένας τους συνδέεται άμεσα με 9 από τα παιδιά αυτά. Πόσα παιδιά απέκτησαν μαζί;

Γρίφος 3: Ο τοξότης (*)

Ένας τοξότης έχει ένα τόξο και εξήντα βέλη. Αν ρίξει το πρώτο του βέλος στις 12:00 το μεσημέρι και συνεχίσει να ρίχνει ένα βέλος κάθε λεπτό, τι ώρα θα του τελειώσουν τα βέλη;

Γρίφος 4: Ο πονηρός επιχειρηματίας (*)

Ένας επιχειρηματίας σκέφτηκε το παρακάτω συνταξιοδοτικό πρόγραμμα για τους υπαλλήλους του: Τους είπε πως θα τους δώσει σύνταξη αμέσως μόλις ο καθένας τους εργασθεί για 8 καθαρές ώρες στο ταμείο της εταιρίας. Η μόνη προϋπόθεση που έθεσε ήταν ότι κανένας τους δεν επιτρέπεται να εργασθεί κάθε μέρα, περισσότερο από το μισό του χρόνου που του απομένει για να συμπληρώσει τις 8 αυτές ώρες. Την πρώτη μέρα δηλαδή ένας υπάλληλος μπορεί να εργασθεί στο ταμείο μέχρι 4 ώρες, τη δεύτερη μέχρι 2, κ.ο.κ. Σε πόσες ημέρες αυτός ο υπάλληλος θα μπορέσει να βγει στη σύνταξη;

Γρίφος 5: Αγώνας δρόμου (**)

Ο Ανδρέας και ο Βασίλης έτρεξαν σε μια κούρσα 100 μέτρων. Όταν ο Ανδρέας τερμάτισε, ο Βασίλης βρισκόταν στα 90 μέτρα. Ο Ανδρέας πρότεινε στον Βασίλη να ξανατρέξουν αλλά αυτή τη φορά θα ξεκινούσε 10 μέτρα πίσω απ' τον Βασίλη για να είναι πιο αμφίρροπο το αποτέλεσμα. Αν κρατηθούν όλες οι άλλες συνθήκες ίδιες, θα κερδίσει ο Ανδρέας, ο Βασίλης ή θα τερματίσουν ταυτόχρονα;

Γρίφος 6: Παράξενος δεκαψήφιος (*****) 

 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος γράψτε έναν δεκαψήφιο αριθμό, ώστε το ψηφίο στην πρώτη θέση να δείχνει τον συνολικό αριθμό των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο στη θέση με την ένδειξη 1 να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 1 και ούτω καθεξής, μέχρι την τελευταία θέση, το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 9 στον αριθμό. Η απάντηση είναι μοναδική.

Γρίφος 7: Δώρο γενεθλίων (**)

Ένας πατέρας αποφασίζει να κάνει μια επένδυση για το γιο του. Κάθε επέτειο των γενεθλίων του, κάνει γι' αυτόν μια κατάθεση στην τράπεζα 10.000 δρχ. Όταν ο μικρός έγινε είκοσι χρονών πάει στην τράπεζα να εισπράξει το ποσό. Προς έκπληξή του όμως διαπιστώνει ότι στον λογαριασμό του έχουν κατατεθεί μόνο 50.000 δρχ. Πως γίνεται αυτό;

Γρίφος 8: Τα τρία μπιφτέκια (*) 

Κάποιος θέλει να ψήσει τρία μπιφτέκια σ' ένα μπάρμπεκιου που χωράει μόνο δύο. Χρειάζονται 5 λεπτά για να ψηθεί η κάθε πλευρά του μπιφτεκιού, οπότε υπολογίζει πως χρειάζεται 10 λεπτά για να ψήσει τις δύο πλευρές των δύο πρώτων μπιφτεκιών και άλλα 10 για να ψήσει το τρίτο. Μήπως υπάρχει κανένας συντομότερος τρόπος;

Γρίφος 9: Χαμένη δραχμή (****)

Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 300 δρχ. δίνοντας 100 δρχ. ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι στοιχίζει 295 και όχι 300 δρχ. και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 δρχ. ρέστα. Αυτοί αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ. στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1 δρχ. και δίνουν 2 δρχ. φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 100 δρχ. και πήρε μία πίσω, άρα 99 δρχ. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2 δρχ. για το φιλοδώρημα, 299. Τι έγινε η μία δραχμή;

Μαθηματικοί γρίφοι (απαντήσεις)

Απάντηση 1: Ο πατέρας αγοράζει ακόμα ένα πρόβατο, οπότε τα πρόβατα γίνονται 20. Ο πρώτος γιος παίρνει το 1/2 , δηλαδή 10 πρόβατα. Ο δεύτερος γιος παίρνει το 1/4 , δηλαδή 5 πρόβατα. Ο τρίτος γιος παίρνει το 1/5 , δηλαδή 4 πρόβατα. μένει ακόμα ένα πρόβατο στο μαντρί , το οποίο ο γέρος ξανά πουλάει.

Απάντηση 2: Μαζί απέκτησαν 6 παιδιά. Τρία είχε ο Πέτρος από τον πρώτο γάμο του και τρία η Μαρία.

Απάντηση 3: Στις 12:59.

Απάντηση 4: Δεν θα βγει στη σύνταξη ποτέ! Ο υπολειπόμενος χρόνος διαιρείται συνεχώς στα δύο αλλά δεν μηδενίζει.

Απάντηση 5: Όταν ο Ανδρέας θα έχει τρέξει 100 μέτρα, ο Βασίλης θα έχει τρέξει 90. Άρα θα συναντηθούν 10 μέτρα πριν τον τερματισμό. Επειδή όμως ο Ανδρέας είναι πιο γρήγορος, θα διανύσει τα τελευταία αυτά μέτρα ταχύτερα και θα τερματίσει και πάλι πρώτος.

Απάντηση 6: Ο αριθμός είναι ο 6210001000

Απάντηση 7: Ο μικρός έχει γεννηθεί 29 Φεβρουαρίου.

Απάντηση 8: Ονομάζουμε τα τρία μπιφτέκια Α, Β και Γ και τις δύο πλευρές τους 1 και 2. Ένας τρόπος για να ψηθούν είναι ο εξής: Ψήνει πρώτα το Α1 με το Β1 για 5 λεπτά. Στη συνέχεια το Α2 με το Γ1 για άλλα 5 και τέλος το Β2 με το Γ2 για άλλα 5. Συνολικός χρόνος και για τα τρία: 15 λεπτά.

Απάντηση 9: Στις 297 δρχ. που δώσανε και οι τρεις μαζί, συμπεριλαμβάνονται και οι 2 δρχ. του φιλοδωρήματος. Πρέπει να αφαιρέσουμε και όχι να προσθέσουμε το φιλοδώρημα στο ποσό που πλήρωσαν για να βρούμε την αξία του κρασιού. Πράγματι: 297 – 2 = 295.